Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(-x) = I_2$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)+A(2)+...+A(n))=\frac{n^2(n+1)}{4}$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=4(x+y)-xy$.

a) Calculați $\displaystyle 2*4$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y=4-(x-4)(y-4)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x*x*x=x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x \ln x-x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=1$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\ln x$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 0$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-3,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+8x+15}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+8x+15)f(x)dx=2014$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 f'(x)f(x)dx=-\frac{1}{144}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>0$ știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=a$, are aria egală cu $\displaystyle \frac{1}{2} \ln \frac{10}{9}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ \frac{3}{4} & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Calculați det $\displaystyle A$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ știind că $\displaystyle B+C=A$.

c) Calculați $\displaystyle B \cdot B$ și verificați dacă $\displaystyle B \cdot B+B = O_2$, unde $\displaystyle O_2$ este matricea nulă de ordin 2.

Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție $\displaystyle x * y = x+y+12$ și $\displaystyle x \text{Oy} = xy+4x+4y+12$.

a) Arătați că $\displaystyle x \text{Oy} = (x+4)(y+4)$.

b) Arătați că $\displaystyle x \text{Oy} = x * y + 4x+4y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \text{O} x = 12$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$ pentru $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to e} \frac{f(x)}{x-e}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x - x^2 - x$ și $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=e^x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle F'(x)=f(x)$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.