Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x y + x + y + 42$. Arătați că $\displaystyle \sqrt{2} * (-\sqrt{2}) = 40$.

Arătați că $\displaystyle x * y = (x+7)(y+7)-7$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Verificați dacă $\displaystyle e=-6$ este elementul neutru al legii de compoziție ".*."

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle 2*a=s*a$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$, $\displaystyle x>0$ pentru care $\displaystyle (\log_2 x)^2 + 42 = 7(\log_2 x)$.

Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m*(2-m) \ge 57$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 6 & -5 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$. Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

Arătați că $\displaystyle A \cdot B - B · A = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care care $\displaystyle A+(xB)=1-3x$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Arătați că $\displaystyle \det((A+B) \cdot (A-B)) = 2(\det A + \det B)$.

Determinați matricea $\displaystyle X \in M_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle A - X - B = I_2$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

1. Determinați primul termen al progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, știind că $\displaystyle a_3=10$ și rația $\displaystyle r=3$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că punctul $\displaystyle A(1,3)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-mx+2m$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 4^x = \frac{1}{4}$.

4. Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, au cifrele elemente ale mulțimii $\displaystyle \{1, 2, 3, 4\}$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,2)$ și $\displaystyle B(2,4)$. Determinați ecuația mediatoarei segmentului $\displaystyle AB$.

6. Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului dreptunghic $\displaystyle ABC$ care are catetele $\displaystyle AB=8$ și $\displaystyle AC=6$.