Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-2}{x^2} + \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x}{2} + \ln x \ge 1 + \ln 2$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2}{2x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 2xf(x)dx = \frac{13}{3}$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$, pentru care $\displaystyle F(1)=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2 \int_1^n (f(x)+xf'(x))dx = n^2-1$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -13$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot B - B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 10 \\ -10 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B - xI_2) = 0$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3+3X^2-X-3$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1)=0$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X-2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=11$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^3-6x+4$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le f(x) \le 8$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+5x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-5x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 2017$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{x}$ este egal cu $\displaystyle \frac{127\pi}{3}$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & x \\ 0 & x & 0 \\ x & 0 & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y) = x y I_3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, numărul $\displaystyle \det(A(n)A(n) + A(n) + I_3)$ este pătratul unui număr natural.

Se consideră polinomul $\displaystyle P = X^3+aX^2+4$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle P(2)=0$.

b) Pentru $\displaystyle a=-5$, demonstrați că, pentru $\displaystyle a=-5$, demonstrați că câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle X^2+X-2$ sunt egale.

c) Determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle P$, știind că $\displaystyle P(i)=0$, unde $\displaystyle i^2=-1$.