b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \textrm{o} y = (x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \textrm{o} y = (x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3x^2+6x+2$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x+2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -5 \le f(1)=9$, pentru orice $\displaystyle x \textrm{e} [-1,1]$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)+x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (4x^3-f(x))e^x dx = 1$.

c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graful funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=3$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)A(-x)) \leq 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că, dacă numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ verifică relația $\displaystyle A(m)A(n)=A(2)$, atunci $\displaystyle m+n=3$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle f(1)=0$.

b) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X^2+X+1$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ au modulele egale.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x-\frac{1}{x+2}$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (-2, +\infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} x \ln x \, dx = \frac{e^2+1}{4}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2I_{n+1} + (n+1)I_n = e^{n+2}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.