În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,1)$, $\displaystyle B(3,3)$ și $\displaystyle C(0,2)$. Determinați lungimea medianei din $\displaystyle C$ a triunghiului $\displaystyle ABC$.

Arătați că $\displaystyle (\operatorname{tg}^2x)\cos^2x + (1+\operatorname{ctg}^2x)\sin^2x = 2$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, \frac{\pi}{2})$.

1. Arătați că $\displaystyle 1 + \left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{7}{4} = 1$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(1) + f(-1) = 2$, unde $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x + a$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_6(x^2+2) = \log_6(3x)$.

4. Prețul unui obiect este $\displaystyle 300$ de lei. Determinați prețul obiectului după ce se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte $\displaystyle 10\%$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle O(0,0)$, $\displaystyle A(3,2)$ și $\displaystyle B(3,2)$. Determinați distanța de la punctul $\displaystyle O$ la punctul $\displaystyle M$, unde $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

6. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle m(\angle C) = 45^\circ$ și $\displaystyle AB = AC = 2\sqrt{3}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = x + y - 6$.

1. Arătați că $\displaystyle 6 * 0 = 0$.

2. Arătați că legea de compoziție $\displaystyle „*”$ este comutativă.

3. Verificați dacă $\displaystyle e = 6$ este elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle „*”$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

5. Arătați că $\displaystyle 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 1$.

6. Determinați numerele naturale pare nenule $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n * n * \dots * n < 6$, unde $\displaystyle n$ se compune de $\displaystyle n$ ori.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

1. Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -5$.

2. Demonstrați că $\displaystyle A(-a) + A(a) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.