a) Calculați $\displaystyle \det(A(0))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(1+m)+A(1-m)=2A(1)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = -3(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle (x * x) * x = 12$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-1)(x+2)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_1^2 (x^2+3x+3)f(x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 f(x)dx = \ln 7$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^0 f'(x)f(x)dx = 0$.

a) Calculați $\displaystyle \det A$.

b) Arătați că $\displaystyle 9(A+B) - (A \cdot B + B \cdot A) = 45I_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle \det(A+xI_2)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle f(2)=-8$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X-1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x_1+1)^2+(x_2+1)^2+(x_3+1)^2=30$, unde $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=6(x-1)(x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3-f(x)}{f'(x)}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2x)dx = \frac{2}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 e^x (x^2-f(x))dx$.

c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle \frac{2}{3}$.