a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} (f(x)+x^2-x+1)dx = \frac{15}{4}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 2$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle m$, $\displaystyle m \neq -1$ și $\displaystyle m \neq 2$.

c) Pentru $\displaystyle m=2$, determinați soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ a sistemului pentru care $\displaystyle x_0 + y_0 + z_0 = 9$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = -2(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 5$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle m * n = 27$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-2)(x+2)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are două soluții reale distincte.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{5}^{10} (x-4)f(x)\,dx = \ln 5$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[5,6]\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=xf(x)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} n^2 \int_{n}^{n+1} f(x)\,dx = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x+y)=A(x)A(y)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați matricea $\displaystyle A(2^x-1)$ pentru orice număr real $\displaystyle x$, ștind că $\displaystyle A(2^x)=A(1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f(-1)=-1-a+2$.

b) Restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X^2-2X+2$ este $\displaystyle aX+2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle X^2+X_1^2+X_2^2+X_3^2=-1$, unde $\displaystyle X_1, X_2, X_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.