a) Arătați că $\displaystyle \int e^x dx = e^x+c$, $\displaystyle c \in \mathbb{R}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=(3x+m)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) dx = 3a$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=4$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A-2B)=0$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, pentru care $\displaystyle A \cdot B = B \cdot A$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ (-2)=-2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \circ \frac{1}{x} = x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3x^2+2x-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^3}=1$.

c) Determinați abcisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta $\displaystyle y=4x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-2x)dx = \frac{1}{4}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^{x}(f(x)-x^3-x^2)+1)dx = 3e^2+1$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle \Delta(-1,0)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \Delta(x,y)=(x-y)(x-3y+2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele întregi distincte $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle \frac{1}{y-x}=\frac{1}{8}$.

a) Calculați $\displaystyle A(1)-A(0)$.

b) Determinați inversa matricei $\displaystyle A(1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle A(n) \cdot A(m)=A(n+m)$, atunci $\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix} 1 & 2n & n(n+1) \ 0 & 1 & 2n \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle n \in \mathbb{N}$.