b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{(x-1)^2} e^{x} dx = \frac{1-e^{-1}}{1}$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{3}{\sqrt{x}}$.

a) Calculați det($\displaystyle A(0)$).

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este egală cu inversa ei.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este egală cu inversa ei.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, \infty)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, \infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (x^2+1)dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x^2 f(x) dx = 1 - \frac{\pi}{4}$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_0^n 2xf(x) dx = \ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A - 2A = I_2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle A \cdot B = I_2$, unde $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -1 & x \\ x-1 & -1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle P(1)=2$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle X+1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3} = -3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.