a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) + A(-a) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle A(x) \cdot A(x) = 2A(1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f(-1) + f(1) = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Pentru $\displaystyle m = -1$, arătați că polinomul $\displaystyle f$ se divide cu polinomul $\displaystyle X^2 - 1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 4\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}\right) = 0$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(e) < \frac{7}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x^2 f(x) dx = e(e - 1)$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle [2, +\infty)$.

c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x = 1$ și $\displaystyle x = 2$ are aria mai mică sau egală cu $\displaystyle e(e - 1)$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$, pentru care $\displaystyle A^2 = \begin{pmatrix} a-2 & b \ c+1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A^2=I_2$.

b) Arătați că $\displaystyle x y = x+3y+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că valorile reale ale lui $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \leq 5x \leq x+5$.