În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,1)$, $\displaystyle B(-2,-1)$ și $\displaystyle C(2,3)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle BC$.

Calculați lungimea razei cercului circumscris unui triunghi $\displaystyle ABC$, în care $\displaystyle m(\angle A)=45^\circ$ și $\displaystyle BC=2\sqrt{2}$.

Calculați $\displaystyle 2\left(1+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{4}\right)$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle f(x) \geq g(x)$, unde $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-2$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x+4$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 7^{x^2+3}=7^{4x}$.

O firmă folosește 6000 de lei pentru publicitate, sumă care reprezintă 5% din profitul anual al firmei. Calculați profitul anual al firmei.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,0)$, $\displaystyle B(6,4)$ și $\displaystyle C(0,4)$. Calculați perimetrul triunghiului $\displaystyle ABC$.

Arătați că $\displaystyle \sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x+y+5$. Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 1 = 5$.

Arătați că legea de compoziție ,,$\displaystyle \circ$'' este asociativă.

Verificați dacă $\displaystyle e=-5$ este elementul neutru al legii de compoziție ,,$\displaystyle \circ$''.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x^2 \circ x = 7$.

Demonstrați că $\displaystyle (x^2-y-5) \circ (x-y^2-5) = (x-y)(x+y+1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle m \circ n = 6$.

Se consideră matricele $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle A(0)=O_2$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.