a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(1+m)+A(1-m)=2A(1)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

c) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = -3(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \ast$” este asociativă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle (x \ast x) \ast x = 12$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x^3-1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} (x^2+3x+3)f(x)dx=6$.

b) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=3$ are aria egală cu $\displaystyle \ln 7$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)f'(x)dx=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle B \cdot B + A = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, pentru care $\displaystyle A+B = \begin{pmatrix} 2^{x} & 0 \\ 0 & 4^{y} \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1) = -2$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X+1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x_2+x_3)(x_3+x_1)(x_1+x_2) = -3$, unde $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(1-x)(1+x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim\limits_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = -9$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 4$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-2\right)dx = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} e^{x}f(x)\,dx = 2e-1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{6-a}\left(f(x)-4\right)dx$.