Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\displaystyle \det(A - 2I_2) = 1$.

2. Determinați numărul întreg $\displaystyle k$ pentru care $\displaystyle 2A + kI_2 = B$.

Se definește matricea $\displaystyle M(p,q) = p \cdot A + q \cdot B$, unde $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ sunt numere reale. 3. Arătați că $\displaystyle B \cdot A = B \cdot A$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care $\displaystyle M(p,q) = A^t$, $\displaystyle A^t = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.

5. Arătați că, oricare ar fi $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ numere reale, $\displaystyle \det(M(p,q)) = \det(M(q,p))$.

6. Determinați perechile $\displaystyle (p,q)$ de numere reale pentru care $\displaystyle M(p,q) \cdot M(q,p) = 6I_2$.

Se consideră numărul complex $\displaystyle z = 1 - i$. Calculați modulul numărului $\displaystyle w = |z| + \bar{z}$.

Determinați punctele de intersecție ale graficului funcției $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - x - 2$ cu axa $\displaystyle Ox$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2 (2 - x) = \log_2 (2x - 1)$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că dreapta de ecuație $\displaystyle x - 2y + 5 = 0$ și $\displaystyle ax + y + 5 = 0$ sunt perpendiculare.

Calculați numărul de submulțimi cu $\displaystyle 2$ elemente ale unei mulțimi cu $\displaystyle 6$ elemente.

Calculați $\displaystyle \sin 15^\circ$.

Arătați că $\displaystyle 3(\sqrt{4}+18) - \sqrt{162} = 12$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+m$. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle f(1)=9$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{2x+1}=2026^{0}$.

Un aparat electric costă $\displaystyle 400$ de lei. Determinați prețul aparatului după o scumpire cu $\displaystyle 15\%$.