a) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A)=0$.

b) Pentru $\displaystyle x=2$, arătați că matricea $\displaystyle B = A^2-2A+I_2$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle x=2$, determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle A \cdot X = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ (-3) = -1$.

b) Demonstrați că legea „$\displaystyle \circ$” este asociativă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ care verifică egalitatea $\displaystyle x \circ x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{12x}{(x^2-3)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$.

b) Determinați asimptota orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$ situat pe graficul funcției.

a) Verificați dacă funcția $\displaystyle G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle G(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (g(x)+2x-1) dx > 2$.