Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2\cdot\log_{x+1}3=1+\log_3(x+1)$.

Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi $\displaystyle A$, știind că aceasta are exact 16 submulțimi cu cel mult două elemente.

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A(1,2)$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d$, de ecuație $\displaystyle x-2y+3=0$.

Fie $\displaystyle x\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$ astfel încât $\displaystyle \cos x=-\frac{4}{5}$. Calculați $\displaystyle \operatorname{ctg}2x$.

Arătați că $\displaystyle \sqrt{2}(\sqrt{18}-\sqrt{6}) - \sqrt{16} + 2\sqrt{3}$ este număr natural.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 3x+2, g(x)=2x-7$. Aflați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$, astfel încât $\displaystyle f(a) + g(a) = 0$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: $\displaystyle \log_{2026}(4x-15) = \log_{2026}(x-3)$.

După o scumpire cu 25%, prețul unui obiect este de 120 lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,3), B(5,1), C(-1,-2)$ și $\displaystyle M$ mijlocul segmentului $\displaystyle AB$. Calculați lungimea segmentului $\displaystyle MC$.

Arătați că $\displaystyle 2(\sin 60^\circ + \cos 30^\circ)^2 - (\sin 45^\circ + \cos 45^\circ)^2 = 4$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție: $\displaystyle x \ast y = 2xy - x - y + 5$.

1. Arătați că $\displaystyle 3 \ast 4 = 22$.

2. Arătați că $\displaystyle x \ast y = 2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right) + \frac{9}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast (-2) = x+9$.

4. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 9$.

5. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (n-2) \ast n = 25$.

6. Arătați că, pentru orice număr natural $\displaystyle n$, numărul $\displaystyle (n-1) \ast (n+1)$ este impar.