a) Să se calculeze $\displaystyle detA(-2)$.

b) Să se arate că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y+xy)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

c) Să se determine $\displaystyle x \in \mathbb{R}$, $\displaystyle x \ne -1$, pentru care $\displaystyle (A(x))^{-1} = A(-2)$.

a) Să se verifice dacă $\displaystyle 3 \ast 6 = 2$.

b) Să se demonstreze că legea "$\displaystyle \ast$" este asociativă.

c) Să se determine numerele naturale nenule $\displaystyle m, n \in \mathbb{N}^*$ pentru care $\displaystyle (m \ast m) \ast (n \ast n) = 2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.

c) Arătați că $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle \int f(x) \cdot \sqrt{x+2}\,dx = \frac{x^3}{3} + 4x + C$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict monotonă.

c) Determinați mulțimea primitivelor funcției $\displaystyle f$.

a) Calculaţi $\displaystyle A^2 - 3A$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle X(a) \cdot X(b) = X(a+b+3ab)$, oricare ar fi $\displaystyle a, b \in \mathbb{Z}$.

c) Arătaţi că $\displaystyle X(a)$ este matrice inversabilă pentru orice $\displaystyle a \in \mathbb{Z}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle x \circ y = 2(x-1)(y-1) + 1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

b) Determinaţi elementul neutru al legii de compoziţie „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinaţi numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle a \circ a \circ a = a$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f(x) + f(x^2) \ge 1$ oricare ar fi $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

a) Arătaţi că funcţia $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = -\frac{x^2+2x+2}{e^x}$ este o primitivă a funcţiei $\displaystyle f$.

b) Arătaţi că orice primitivă a funcţiei $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0, 2)$.

c) Arătaţi că funcţia $\displaystyle F$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (1, 3)$.