a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(a) = A(0)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea $\displaystyle A(-1) \cdot X = A(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle (-3) \circ (-2) = -1$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle x \circ x \circ x = \frac{1}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 4(x-1)(x^2+x+1)$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are un singur punct de extrem.

c) Fie $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ numere reale pozitive astfel încât $\displaystyle a+b \ge 1$. Demonstrați că $\displaystyle f(a) + f(b) \ge 2$.

a) Calculați $\displaystyle \int (f(x) - g(x)) dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int (x+1)e^{x^2+x} dx$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ care verifică relația $\displaystyle F(e) = \ln(e+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A^2 = x \cdot A + 2024 \cdot I_2$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle B(1) + B(2) + B(3) + \dots + B(23) = n \cdot B(12)$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x+1)(y+1) + 3$, oricare ar fi numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Aflați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle x * x = 3$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n * n \leq 7$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2-x)(x^2+4)}{(x^2+x+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x$ număr real.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -\frac{1}{3} \leq f(x) \leq \frac{4}{3}$, pentru orice $\displaystyle x$ număr real.

a) Demonstrați că $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{g(x)}{f(x)} dx$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle h: [0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle h(x) = f(x) - g(x)$ este concavă.