1. Determinați suma primilor cinci termeni ai unei progresii aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}$, știind că $\displaystyle a_3=5$ și $\displaystyle a_5=9$.

2. Se consideră $\displaystyle x_1, x_2$ soluțiile ecuației $\displaystyle 3x^2-2x-1=0$. Arătați că $\displaystyle 2x_1+2x_2+x_1x_2=\frac{1}{3}$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 8^{x+1}=16^{x-2}$.

4. După o majorare cu 25% prețul unui produs este de 45 lei. Determinați prețul inițial al produsului.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2;1)$, $\displaystyle B(2;3)$ și $\displaystyle C(0;m)$. Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle AB=BC$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu măsura unghiului $\displaystyle C$ egală cu $\displaystyle 60^\circ$ și $\displaystyle AC=12$. Arătați că lungimea înălțimii din vârful unghiului drept este egală cu $\displaystyle 6\sqrt{3}$.

1. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 2xy-x-y+1$. Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 2 = -4$.

2. Arătați că $\displaystyle e=1$ este elementul neutru al legii $\displaystyle \circ$.

3. Calculați simetricul numărului real $\displaystyle x=\frac{5}{3}$, în raport cu legea de compoziție $\displaystyle \circ$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle 2x \circ x = 4$.

5. Arătați că pentru orice număr real $\displaystyle n$, $\displaystyle n \circ n \geq \frac{1}{2}$.

6. Calculați $\displaystyle \sqrt{1} \circ \sqrt[3]{8} \circ \sqrt[4]{16} \circ ... \circ \sqrt[2023]{2023^2} \circ \sqrt[2024]{2024^2} \circ \sqrt[2025]{2025^2}$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B(a) = \begin{pmatrix} a+2 & 2-a \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real. Calculați $\displaystyle A^2$.

2. Arătați că $\displaystyle I_2 + B(-1) - A = O_2$.

3. Arătați că $\displaystyle B(x)+B(-x)=2B(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

4. Calculați suma elementelor matricei $\displaystyle C=A \cdot B(3) + B(1)$.

5. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle B(x) \cdot B(y) = \begin{pmatrix} 7 & 12 \\ 8 & 15 \end{pmatrix}$.

6. Determinați matricele $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle B(2) \cdot X = A$.

1. Arătați că $\displaystyle \log_{2024} 506 + \log_{2024} 8 - \log_{2024} 2^4 = 1$.

2. Determinați valorile numărului real $\displaystyle m$ pentru care soluțiile $\displaystyle x_1$ și $\displaystyle x_2$ ale ecuației $\displaystyle x^2 + (m-1)x + 3 = 0$ verifică relația $\displaystyle x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot x_2$.