a) Calculați $\displaystyle \det(A(-8))$.

b) Să se determine $\displaystyle a \in R$ astfel încât matricea $\displaystyle A$ să fie inversabilă în $\displaystyle M_3(R)$.

c) Să se arate că oricare ar fi $\displaystyle a \in R$ sistemul $\displaystyle (S)$ nu admite o soluție $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0 \in Z$.

a) Să se arate că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

b) Să se determine elementul neutru al lui $\displaystyle R$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Să se calculeze $\displaystyle 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3} * \dots * \frac{1}{2022} * \frac{1}{2023}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Să se determine intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Să se compare numerele $\displaystyle 3^{\sqrt{5}}$ și $\displaystyle 5^{\sqrt{3}}$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle G : R \to R$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle G(0) = \frac{1}{e}$.

b) Să se determine primitiva $\displaystyle G : R \to R$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle G(0) = \frac{f(x)}{x}$.

c) Să se demonstreze că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are un punct de minim.

a) Calculaţi $\displaystyle \det \left(A\left(\frac{1}{2}\right)\right)$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle A(x) \cdot A(y)=A(x+y-2xy)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

c) Determinaţi $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle A^2(a)=I_3$.

a) Arătaţi că $\displaystyle x * (-x)$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Cercetaţi dacă legea $\displaystyle *$ este asociativă.

c) Cercetaţi dacă legea $\displaystyle *$ admite element neutru şi, în cazul în care există, determinaţi elementele simetrizabile.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}, \forall x \in \mathbb{R}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(f(x)\right)^{\frac{1}{x}}$.

c) Demonstraţi că pentru orice număr real $\displaystyle a \in (1, \sqrt{2})$ ecuaţia $\displaystyle f(x)=a$ are exact două soluții reale strict pozitive.

a) Determinaţi primitiva $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcţiei $\displaystyle f$ cu proprietatea că $\displaystyle F(0)=2024$.

b) Calculaţi $\displaystyle \int e^x \cdot f(x) \operatorname{d}x$.

c) Calculaţi $\displaystyle \int \frac{x+1}{f(x)} \operatorname{d}x$.