a) Să se arate că $\displaystyle \det(A(2)) = -2$.

b) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a \in \mathbb{R} \setminus \{1; 3\}$, rezolvați sistemul de ecuații.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x - 4)(y - 4) + 4$, pentru orice numere întregi $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați elementele simetrizabile ale mulțimii $\displaystyle \mathbb{Z}$ în raport cu legea „$\displaystyle *$”.

c) Calculați $\displaystyle (-2026) * (-2025) * ... * 2025 * 2026$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x^3 + x^2 + 3x + 2)}{(x^2 + 1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle a, b$ pentru care funcția $\displaystyle F : (-1; +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = ax + b \ln(x + 1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x$, $\displaystyle x \in (-1; +\infty)$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle G : (-1; +\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g : (-1; +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (x + 1) \cdot f(x) + e^x + \sin x$ pentru care $\displaystyle G(0) = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle B(3)-B(0) = 3A$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X \cdot A = B(1)$.

a) Arătați că $\displaystyle 4 * 5 = 11$.

b) Determinați numerele naturale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * 5 \le 9$.

c) Arătați că $\displaystyle x * x \ge -3$, pentru orice $\displaystyle x$ real.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^{x}(2x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{2 \cdot f'(x)} = \frac{1}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le e^{x-1}(4-2x) \le 2$, pentru orice $\displaystyle x \in [1,2]$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{f(x)}{2x-4}\,dx$, pentru $\displaystyle x \in (2,\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int f(x)\,dx$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

c) Să se determine primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = \frac{2}{3}$.