a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} f(x)dx = \frac{4}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x}dx$.

c) Dacă $\displaystyle I = \int_1^2 \frac{f^2(x)}{x}dx$. În $\displaystyle x dx$, arătați că $\displaystyle I \in (1,2)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A) = -6$.

b) Arătați că $\displaystyle A^{2}-4A = 6I_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ știind că $\displaystyle \det\left(A-xI_2\right) = -1$.

a) Arătați că $\displaystyle 2026 \circ 1 = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle e = 2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați simetricul lui $\displaystyle 4$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

a) Demonstrați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x \cdot e^{x}}{(x+1)^{2}}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in [0,1]$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 1 \le f(x) \le \frac{e}{2}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in [0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{3}\left(f(x)-3\right)dx = 9$.

b) Definim funcția $\displaystyle g:[1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \left(f(x)\right)^{2}$. Calculați $\displaystyle \int_{1}^{2} g(x)\,dx$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{6}} x \cdot \sqrt{f(x)}\,dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \mathrm{det}(A(1)) = 2025$.

b) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, $\displaystyle m < n$, pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = A(mn+4)$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle x$, matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă și $\displaystyle A^{-1}(x) = A(-x)$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y \in M$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle „*”$.

c) Determinați numerele $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x*x*x = 2x$.