a) Dacă $\displaystyle m = -1$, arătați că $\displaystyle 2026 \circ 2025 = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ știind că legea de compoziție este asociativă.

c) Pentru $\displaystyle m = 2$ rezolvați, în mulțimea numerelor reale, inecuația $\displaystyle 2^x \circ 4^x \ge 4$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2x \ln(x-1) + \frac{x^2-4}{x-1}$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 0$, oricare ar fi numărul $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Demonstrați că $\displaystyle F(-1) < F(-\frac{1}{2})$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle G(x) = xf(x) + F(x)$ cu proprietatea că originea reperului cartezian $\displaystyle xOy$ este punct pe graficul funcției $\displaystyle G$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-1)) = \frac{1}{e}$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle Y \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle A(1) \cdot Y = B$.

a) Arătați că $\displaystyle a*(-a)=-a$.

b) Demonstrați că $\displaystyle 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^4}{x^2+1}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{f'(x)}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x - \frac{x^3}{3} < \operatorname{arctg} x < x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1 = 1 - \ln 2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

c) Arătați că $\displaystyle n I_n = \frac{1}{2} - \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.