În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,5)$, $\displaystyle B(3,-5)$ și $\displaystyle C(a,a+6)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că dreptele $\displaystyle AB$ și $\displaystyle OC$ sunt paralele.

Se consideră expresia $\displaystyle E(x) = -\sqrt{3}\sin x + 2\cos x - \frac{1}{2}\cos x$. Arătați că $\displaystyle E(60^\circ) = 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x + y + \log_2{\sqrt{2}}$. Arătați că $\displaystyle 1 * 1 = 1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x + y + \log_2{\sqrt{2}}$. Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x + y + \log_2{\sqrt{2}}$. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * (x+1) * (x+2) < 5$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x + y + \log_2{\sqrt{2}}$. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2{(x^2 * x^2)} = -2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x + y + \log_2{\sqrt{2}}$. Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (a,b)$ pentru care $\displaystyle (a^2+\frac{1}{4}) * (b^2+\frac{1}{4})=4$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x + y + \log_2{\sqrt{2}}$. Arătați că există două numere iraționale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle m*n=2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + a \cdot A$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle M(1) + M(-1) = 2I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + a \cdot A$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul întreg $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A \cdot A = n \cdot A$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + a \cdot A$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle M(a) \cdot A = A \cdot M(a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + a \cdot A$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X \cdot M(0) \cdot (A - I_2) = 4A$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + a \cdot A$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle M(-5) + M(-4) + M(-3) + \dots + M(3) + M(4) + M(5) = n \cdot I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + a \cdot A$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (a,b)$, cu $\displaystyle a < b$ pentru care $\displaystyle M(a) \cdot M(b) = M(3)$.

Arătați că numerele $\displaystyle \log_2 2$, $\displaystyle \log_2 10$ și $\displaystyle \log_2 50$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care graficele funcțiilor $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - x + m$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = x + 2$ se intersectează într-un punct de abscisă $\displaystyle 1$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x - \sqrt{x - 2} = 0$.

Aflați probabilitatea ca, atunci când alegem la întâmplare un număr natural de două cifre, raportul dintre cifra zecilor și cifra unităților numărului ales să fie egal cu $\displaystyle 2$.

În raport cu un reper cartezian $\displaystyle Oxy$, vârfurile triunghiului $\displaystyle ABC$ au coordonatele $\displaystyle A(-1,1)$, $\displaystyle B(2,1)$ și $\displaystyle C(0,-3)$. Determinați ecuația medianei din $\displaystyle A$ a triunghiului $\displaystyle ABC$.

În triunghiului $\displaystyle ABC$ se cunosc $\displaystyle AC = 6$, $\displaystyle BC = 2\sqrt{6}$ și $\displaystyle B = \frac{\pi}{3}$. Demonstrați că $\displaystyle A = \frac{\pi}{4}$.