Exerciții

determinanțimatrici

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x-1 & -1 \\ 1 & x+1 \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle x$ este număr real.

Subiectul al II-lea

legi de compoziție

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y=xy-3x-3y+12$ .

Subiectul al III-lea

derivatefuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=8x^2-\ln x$ .

Subiectul al III-lea

integraleprimitive

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=4x^3-3x^2+2x$ .

Subiectul I

numere complexe

Se consideră numărul complex $\displaystyle z = 4i - 2i + 2$ , unde $\displaystyle i^2 = -1$ . Determinați partea imaginară a numărului $\displaystyle z$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care graficul funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = 2x^2 - 4x + m$ nu intersectează axa $\displaystyle Ox$ .

Subiectul I

ecuații

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_3 (x^2 + 6x - 12) = \log_3 x + \log_3 7$ .

Subiectul I

combinatoricăprobabilități

Se consideră mulțimea $\displaystyle A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Determinați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii $\displaystyle A$ , având trei elemente, aceasta să fie formată doar din numere pare.

Subiectul I

geometrie analitică

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2, 1)$ , $\displaystyle B(1, 3)$ și $\displaystyle C(6, 4)$ . Arătați că vectorii $\displaystyle \vec{AB}$ și $\displaystyle \vec{CO}$ au aceeași direcție.

Subiectul I

trigonometrie

Arătați că numărul $\displaystyle \alpha = \sin^2 15^\circ + \sin^2 75^\circ$ este număr natural.

Subiectul al II-lea

determinanțimatricisisteme de ecuații liniare

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & m \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 2x + 3y + 4z = 0 \\ 3x + 4y + mz = 0 \end{cases}$ un număr real.

Subiectul al II-lea

legi de compoziție

Pe mulțimea $\displaystyle M = (0, 1)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = \frac{xy}{2xy - x - y + 1}$ .

Subiectul al III-lea

derivatefuncțiilimite de funcții

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = \frac{e^x - 2x}{e^x - 1}$ .

Subiectul al III-lea

funcțiiintegraleprimitive

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-\infty, 2) \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = \sqrt{2-x}$ .

Subiectul I

calcul algebricnumere

Arătați că numărul $\displaystyle A = (\frac{1}{5} + \frac{4}{5})^{-1} + \sqrt{2^{-8}}$ este număr natural.

Subiectul I

ecuațiifuncțiiprogresii aritmetice

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=2x+5$ și $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle g(x)=x+m$ , unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle m$ știind că $\displaystyle g(1)$ , $\displaystyle f(m)$ și $\displaystyle g(3)$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Subiectul I

ecuațiiecuații exponențiale

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x-9} - 9^{x+1} + 18 = 0$ .

Subiectul I