Fie matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 8 & -4 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = A + 3aI_2$, cu $\displaystyle a$ parametru real. 1. Arătați că $\displaystyle \det(A) = 0$.

2. Arătați că $\displaystyle M(-1) \cdot M(1) = -9I_2$.

3. Determinați valorile parametru real $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle \det(M(a))=9$.

4. Arătați că, dacă $\displaystyle a \ne 0$, atunci $\displaystyle M(a)$ este inversabilă.

5. Determinați $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$, astfel încât să avem $\displaystyle M(\frac{2}{3}) \cdot X = M(-\frac{2}{3})$.

6. Să se verifice dacă are loc relația $\displaystyle (M(a))^2 = 6 \cdot A + 9a^2 \cdot I_2$, oricare ar fi $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

Determinați $\displaystyle x ∈ \mathbb{R}$ dacă numerele $\displaystyle 3, x+1, 12$ sunt în progresie geometrică.

Fie $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 - 2x + 4$. Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ știind că punctul $\displaystyle A(a, a+2)$ aparține graficului $\displaystyle f$.

Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x+13} = x+1$.

Determinați termenul al șaptelea al dezvoltării $\displaystyle \left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^9$.

Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ astfel încât vectorii $\displaystyle \vec{u} = 2\vec{i} - \vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v} = (m-1)\vec{i} + (2m-1)\vec{j}$ să fie coliniari.

Dacă $\displaystyle E(x) = \cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin\left(\frac{x}{4}\right)$, calculați $\displaystyle E\left(\frac{3\pi}{2}\right)$.

Arătați că $\displaystyle 1+2\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\frac{4}{3}=4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-1$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a)=a+f(1)$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x-1}=9^{1-x}$.

După o scumpire cu $\displaystyle 20\%$, prețul unui televizor este de $\displaystyle 960$ de lei. Determinați prețul televizorului înainte de scumpire.