a) Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ astfel încât sistemul să admită soluția $\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det A \ge 0$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$, pentru care sistemul admite o soluție unică cu componentele numere naturale.

a) Arătați că $\displaystyle e=2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

b) Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați numărul $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle \sqrt{x} \ast \sqrt[3]{x} = 4$.

a) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați punctul de extrem al funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^{2x-x^2}$.

a) Să se determine $\displaystyle a,b \in \mathbb{R}$ pentru care funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Să se calculeze $\displaystyle \int (x^2+1)f(x)dx$.

c) Să se arate că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe intervalul $\displaystyle [3, \infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(-2))$.

b) Determinați valoarea parametrului real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)) = 3$.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle A(1) \cdot X = A(4)$, $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \ast 1 = 0$.

b) Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{R}$ ecuația $\displaystyle x \ast 1 = 0$.

c) Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{R}$ ecuația $\displaystyle x \ast x = 14$.

a) Calculați $\displaystyle f(1)+f'(1)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{e^x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le \frac{4}{e^2}$, $\displaystyle \forall x \in (-\infty, 0)$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int \frac{(x+1)^2}{x} dx$.

c) Calculați $\displaystyle \int \left(f(x) - \frac{1}{(x+1)^2}\right) dx$.