1. Arătați că $\displaystyle \sqrt{12^2 - 3^2} + \sqrt{5}(\sqrt{5} - 3\sqrt{3})$ este un număr natural.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = mx - 1$. Aflați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle f(-2) \le -5$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \lg x + 2\lg 3 = 0$.

4. După o scumpire cu 10%, prețul unui obiect a devenit 231 de lei. Care era prețul înainte de scumpire?

5. Demonstrați că dreptele de ecuații $\displaystyle 2x + 3y - 5 = 0$ și $\displaystyle -4x - 6y + 1 = 0$ sunt paralele.

6. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle AC = 6 \text{ cm}$, $\displaystyle AB = 8 \text{ cm}$ și $\displaystyle \hat{A} = 120^\circ$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 2xy - 6x - 6y + 21$.

1. Demonstrați că $\displaystyle 1 * 2 = 7$.

2. Demonstrați că $\displaystyle x * y = 2(x - 3)(y - 3) + 3$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Demonstrați că legea de compoziție este comutativă.

4. Demonstrați că $\displaystyle e = \frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție.

5. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^x * 4^x = 5$.

6. Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care numărul $\displaystyle A = m * (m + 1)$ este un număr natural.

Se consideră mulțimea $\displaystyle G = \left\{ A(x) = \begin{pmatrix} 1-x & x \\ x & 1-x \end{pmatrix} \bigg| x \in \mathbb{R} \right\}$.

1. Arătați că $\displaystyle A(1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

2. Calculați $\displaystyle A(1) + A(4)$.

3. Demonstrați că $\displaystyle A(-1) \in G$.

4. Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x + y - 2xy)$ pentru orice $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ numere reale.

5. Aflați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(3) = A(6)$.

6. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle (A(x))^2 = A(0)$.

Să se determine numărul complex $\displaystyle z$, ştiind că $\displaystyle z+5\bar{z}=12+8i$.

Să se determine valoarea maximă a funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=-2x^2+4x$.