a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y-5xy)$, $\displaystyle \forall x, y \in \mathbb{R}$.

c) Determinați perechea de numere naturale nenule $\displaystyle (m,n)$ pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = A(m-3n)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 2025 = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle e=17$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Demonstrați că funcția bijectivă $\displaystyle f:(1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\log_2 (x-1)-4$ verifică relația $\displaystyle f(x \circ y) = f(x) + f(y)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(2x+3)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ astfel încât tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a, f(a))$ să fie paralelă cu dreapta $\displaystyle y=2x+1$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) + f(y) \ge 10$, $\displaystyle \forall x, y \in [1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \displaystyle \int_0^1 f(x) \cdot e^x dx = \frac{11}{6}$, unde $\displaystyle f(x) = (x^2+x+1)' \cdot e^{-x}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \displaystyle \int_0^a f(x) dx = a \cdot e - 2$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, o primitivă a funcției $\displaystyle f$. Arătați că graficul funcției $\displaystyle F$ are două puncte de inflexiune.

a) Să se calculeze $\displaystyle S = A - X \cdot Y$.

b) Să se determine $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ astfel încât $\displaystyle B \cdot C = I_3$, unde $\displaystyle C = I_3 + aA$.

c) Să se arate că $\displaystyle A^{n+1} = 14^n \cdot A$, $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle 1 \circ 2 \circ 3 \circ \dots \circ 2026$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$, știind că $\displaystyle a<b<c$ și $\displaystyle a \circ b \circ c = 66$.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

b) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{f(x)} - \sqrt{x^2+x}\right)$.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, arătați că ecuația $\displaystyle f(x) + 2^x = 0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle [-1,0]$.

a) Calculați $\displaystyle \int (x^2+1) \cdot f(x) \, dx$.

b) Determinați funcția $\displaystyle G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitivă a funcției $\displaystyle f'$, pentru care $\displaystyle G(1) = \ln 2$.

c) Calculați $\displaystyle \int f'(x) \cdot e^{f(x)} \, dx$.