a) Să se calculeze $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Să se demonstreze că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b+ab)$, oricare ar fi $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$.

c) Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ știind că $\displaystyle A^2(a) = A^T(1)$.

a) Arătați că legea de compoziție admite element neutru oricare ar fi $\displaystyle a>0$.

b) Arătați că $\displaystyle G = \left(-\frac{1}{a}, +\infty\right)$ este parte stabilă a lui $\displaystyle \mathbb{R}$ în raport cu operația "$\displaystyle \circ$".

c) Pentru $\displaystyle a=3$ determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x \circ x = 21$.

a) Să se calculeze $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) - x$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m > 0$, ecuația $\displaystyle f(x) = m$ are soluție unică în $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (0, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int \ln x \cdot f(x) dx$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle G : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g : (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x) \cdot F'(x)$, pentru care $\displaystyle G(1)=2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(m)$ este inversabilă dacă și numai dacă $\displaystyle m \ne 0$.

c) Pentru $\displaystyle m \ne 0$, demonstrați că singura soluție a sistemului de ecuații este $\displaystyle x=1, y=2$ și $\displaystyle z=3$.

a) Verificați dacă $\displaystyle x * y = (x+1)(y+1)-1$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

b) Dacă $\displaystyle x \in M$ și $\displaystyle x' \in M$, atunci demonstrați că există $\displaystyle x' \in M$ și $\displaystyle x \ne -1$, astfel încât $\displaystyle x*x' = 0$.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

a) Verificați dacă $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in (0,1)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f_2(x)}{\sqrt{x+1}}dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle I_1 = \frac{4(\sqrt{2}+1)}{15}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (2n+3)I_n + 2nI_{n-1} = 4\sqrt{2}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.