Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ știind că $\displaystyle a_1 = 3$ și $\displaystyle a_3 = 27$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f$ și $\displaystyle g$ definite prin $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 5x-4$ și $\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = 3x+1$. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle f(n) < g(n)$.

Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația $\displaystyle \log_2 (7x-6) = \log_2 x$.

Prețul unui produs este de 400 de lei. Acesta se scumpește cu 20%. La casa de marcat se aplică un discount de 5% din noul preț. Determinați prețul final al produsului.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2, 2)$, $\displaystyle B(2, 5)$ și $\displaystyle C(5, 1)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic isoscel.

Arătați că $\displaystyle (tg 30^\circ + tg 60^\circ) \cdot \sin 60^\circ = 2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 6x + 6y - 3xy - 10$.

1. Arătați că $\displaystyle 2 * 3 = 2$.

2. Demonstrați că $\displaystyle x * y = 2 - 3(x-2)(y-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Arătați că $\displaystyle e = \frac{5}{3}$ este elementul neutru al legii de compoziție „*”.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = -1$.

5. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 8^{2x} = \sqrt{2}$.

6. Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (m,n)$ cu proprietatea că $\displaystyle m < n$, astfel încât $\displaystyle m^2 n = 13$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle X(a) = I_2 + aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

1. Arătați că $\displaystyle \det (X(0)) = 1$.

2. Calculați $\displaystyle A^2 - 5A$.

3. Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{Z}$ astfel încât $\displaystyle X(-1) \cdot X(2) = X(m)$.

4. Arătați că pentru orice număr întreg $\displaystyle a$ este verificată inegalitatea $\displaystyle \det(X(a)) \neq 0$.

5. Rezolvați ecuația matricială $\displaystyle (I_2 + A) \cdot X = \begin{pmatrix} -2 & 11 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$.

6. Demonstrați că $\displaystyle X(a) \cdot X(b) = X(a+b+5ab)$ pentru orice $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ numere reale.