Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - 3x - 3y + 12$.

Arătați că $\displaystyle x * y = (x-3)(y-3) + 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Verificați dacă $\displaystyle e=4$ este elementul neutru al compoziției.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle (2x+1)*(x+3)=3$.

Arătați că $\displaystyle x*(-x) less 12$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Arătați că dacă $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere întregi, mulțimea de 3, atunci $\displaystyle x*(y+3) = 3$.

Calculați $\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$ în $\displaystyle Z_8$.

Calculați $\displaystyle (3 + \hat{4}) \cdot (\hat{4} + \hat{5})$ în $\displaystyle Z_8$.

Rezolvați în $\displaystyle Z_8$ ecuația $\displaystyle \hat{2}x + \hat{0} = \hat{0}$.

Verificați dacă $\displaystyle 3 \cdot 3 = 1$.

Simetrictul elementului $\displaystyle 3$ în raport cu operația de înmulțire din $\displaystyle Z_8$ este {$\displaystyle 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$}.

Rezolvați în $\displaystyle Z_8$ sistemul $\displaystyle \begin{cases} 2x+y = 5 \\ 3x+7y = 1 \end{cases}$.

1. Calculați $\displaystyle a_{2015}$, știind că $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ este progresie aritmetică cu $\displaystyle a_1 = 2015$ și $\displaystyle r = -1$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că punctul $\displaystyle A(2,-3)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - (2m+1)x + 3$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x+1} - \sqrt{x-1} = \sqrt{2}$.

4. Calculați probabilitatea ca, alegând una dintre submulțimile cu 2 elemente ale mulțimii $\displaystyle {1, 2, 3, \dots, 9}$, aceasta să fie formată doar din pătrate perfecte.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(5,-2)$ și $\displaystyle C(1,2)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle B$, știind că patrulaterul $\displaystyle OABC$ este paralelogram.

6. Se consideră dreptunghiul $\displaystyle ABCD$ cu $\displaystyle AB = 3\sqrt{3}$ și $\displaystyle BD = 6$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$.