a) Arătați că $\displaystyle f(-5)=0$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X^2+6X+5$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x_1}{x_2x_3}+\frac{x_2}{x_1x_3}+\frac{x_3}{x_1x_2}=\frac{23}{5}$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=4x(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0\le f(x)\le 1$, pentru orice $\displaystyle x\in[-1,1]$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{2x\sqrt{x}}{3}+2015$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+\sqrt{x}$.

c) Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=(f(x)-\sqrt{x})\cdot e^x$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle e(2e-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle D\left(2, \frac{1}{2}\right) = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle D(x,y) = -\frac{1}{xy}(2x-1)(2y-1)(x-y)$, pentru orice numere reale nenule $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle D(\log_2 x, 2) = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle 2A(1)-A(-1)=A(3)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A(a) + bI_3 = 2(A(1)-I_3)(A(1)-I_3)$.

c) Arătați că matricea $\displaystyle A(n)$ este inversabilă pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ este crescător.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (2n+1)(a_n - \ln n)$.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

b) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(x)+x})$.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, arătați că ecuația $\displaystyle f(x)+2^x=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle [-1,0]$.