Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle A \cdot M(x, y) = M(x, y) \cdot A$.

Demonstrați că, dacă $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere întregi pentru care $\displaystyle M(a, b) \cdot M(-a, b) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, atunci numărul $\displaystyle a \cdot b$ este divizibil cu $\displaystyle 5$.

Se dă numărul complex $\displaystyle z = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} + i \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$. Calculaţi modulul numărului $\displaystyle z^4$.

Fie progresia aritmetică $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ și progresia geometrică $\displaystyle (b_n)_{n \ge 1}$ astfel încât $\displaystyle a_1 = b_1 = 1$, $\displaystyle b_2 - a_2 = 2$ iar cele două progresii au aceeași rație pozitivă. Să se calculeze $\displaystyle b_4 - a_4$.

Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{R}$ ecuația $\displaystyle 4^{x+1} - 3 \cdot 4^x + 2^x = 6$.

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să fie divizibil cu $\displaystyle 3$.

Patrulaterul $\displaystyle ABCD$ are lungimea laturii $\displaystyle AB = \sqrt{2}$. Să se calculeze $\displaystyle \vec{AB} \cdot \vec{BD}$.

Triunghiul $\displaystyle ABC$ are aria $\displaystyle S = 9$, $\displaystyle AC = 6$ și $\displaystyle BC = 2\sqrt{3}$. Aflați măsura unghiului $\displaystyle C$.

Calculați conjugatul numărului complex $\displaystyle z=(1+i)^8-i$.

Să se determine $\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$ pentru care $\displaystyle (a-1)x^2-(a-1)x+a+3\leq 0$, oricare ar fi $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{x+5}=\sqrt[3]{2^{2x}}$.

Considerăm mulțimea $\displaystyle A=\{1,2,3,4\}$ și $\displaystyle M=\{f\mid f:A\to A\}$. Calculați probabilitatea ca, alegând o funcție din mulțimea $\displaystyle M$, aceasta să fie injectivă.

Fie $\displaystyle ABCD$ un paralelogram și punctele $\displaystyle E$ și $\displaystyle F$ astfel încât $\displaystyle \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{ED}$ și $\displaystyle \overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FE}$. Să se demonstreze că punctele $\displaystyle A$, $\displaystyle F$, $\displaystyle C$ sunt coliniare.

Triunghiul $\displaystyle ABC$ are $\displaystyle AB=5$, $\displaystyle AC=12$, $\displaystyle BC=13$. Arătați că $\displaystyle R=\frac{13}{4}r$, unde $\displaystyle R$ este raza cercului circumscris și $\displaystyle r$ este raza cercului înscris în triunghiul $\displaystyle ABC$.