Arătați că $\displaystyle \sqrt{3}(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) + 3\sqrt{2} = 6$.

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-1$ și $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x+3$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_3(x^2 - 3x + 5) = 1$.

După o scumpire cu $\displaystyle 10\%$, urmată de o ieftinire cu $\displaystyle 40$ de lei, prețul unui obiect este $\displaystyle 180$ de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1, 2)$, $\displaystyle B(5, 2)$ și $\displaystyle C(5, 6)$. Demonstrați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este isoscel.

Arătați că $\displaystyle 3 \sin 30^\circ + \sqrt{3} \cos 30^\circ - \text{tg} 45^\circ = 2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - x - y + 20$. 1. Arătați că $\displaystyle 2 * 4 = 4$.

Determinați elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle x * y = xy - x - y + 20$, $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = 20$.

Calculați $\displaystyle 1 * 2 * 3 * \dots * 2024$.

Determinați valorile numerelor reale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n * (n + 1) < 6$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle x * (x * y) = 20$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle M(x, y) = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale. 1. Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ astfel încât $\displaystyle M(x, y) = A + 2I_2$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det (M(x, 1)) = 7$.

Arătați că $\displaystyle A \cdot A - A = -2A$.