a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot B = I_2$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m, n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle 3^m + \det(A \cdot B + nI_2) = -19$.

a) Arătați că $\displaystyle 6 \circ 1 = 5$.

b) Arătați că $\displaystyle e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m \circ (2 - m) < 3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x((x^2+1)+1)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = -1$.

c) Determinați valorile funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (F(x) - x^3 + 6x^2 - 2x) dx = 2$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle F$ pentru care $\displaystyle f(1)=7$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{F(x)+x}{x} dx = 8 + \ln a$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4)) = -27$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y-xy)$ pentru orice $\displaystyle x,y \in \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle A(2) \cdot A(3) \cdot A(4) \dots A(2026)$.

a) Rezolvați ecuația $\displaystyle (x+1) \circ x = 9, x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că legea $\displaystyle \circ$ nu este asociativă.

c) Dați exemplu de două numere $\displaystyle a, b \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ astfel încât $\displaystyle a \circ b \in \mathbb{Z}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-(x^2+x-1)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Să se calculeze $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^x$.

c) Să se determine valorile lui $\displaystyle a, a \in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are exact două soluții reale.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

c) Să se calculeze $\displaystyle \int_1^e (x f(x) + F(x))dx$.