Se consideră matricele $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & -3 \\ -5 & 6 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

1. Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -9$.

2. Arătați că $\displaystyle A(1) \cdot A(1) = 8A(1)$.

3. Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle \det(A(a) + B) = 19$.

4. Verificați dacă $\displaystyle B \cdot B = 2B + 3I_2$.

5. Determinați numărul natural $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(n) + B = \begin{pmatrix} -17 & -19 \\ 16 & 52 \end{pmatrix}$.

6. Arătați că $\displaystyle n \cdot \det(A(n))$ este număr natural divizibil cu $\displaystyle 18$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$ nenul.

1. Se dă progresia geometrică $\displaystyle b_1, 18, b_3, 4, \dots$. Determinați termenii $\displaystyle b_1, b_3$.

2. Determinați valorile reale $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $\displaystyle ax^2 - x - 1 = 0$ are două soluții reale distincte.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2 x = 2 \log_2 x - \log_2 4 + \log_2 (2x-1)$.

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă toate cifrele pare.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,4), B(-1,1)$ și $\displaystyle C(3,a)$, $\displaystyle a \in \mathbb{R}$. Determinați numărul $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ pentru care dreptele $\displaystyle OC$ și $\displaystyle AB$ sunt perpendiculare.

6. În triunghiul $\displaystyle ABC$ se cunosc $\displaystyle AB = 3\sqrt{2}$, $\displaystyle BC = 3$ și $\displaystyle AC = 3\sqrt{2}$. Determinați măsura unghiului $\displaystyle A$.

Arătați că $\displaystyle 3 - \frac{1}{2} : \frac{1}{4} = 5$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x - 1$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = x^2 + 4$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a) = g(3)$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_3(4x - 1) = \log_3(x + 8)$.

După o scumpire cu $\displaystyle 20\%$, un obiect costă $\displaystyle 72$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.