Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{x+1}+2^{x+2}=160$.

Determinați numărul submulțimilor ale mulțimii $\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5\}$ care conțin cel mult unul dintre elementele $\displaystyle 0$ sau $\displaystyle 1$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,1)$, $\displaystyle B(2,3)$ și $\displaystyle C(a,a)$, unde $\displaystyle a$ este un număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle C$ este situat pe mediatoarea segmentului $\displaystyle AB$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle MNP$ în care $\displaystyle \cos M = \frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\displaystyle MN = MP = 7\sqrt{2}$. Calculați aria triunghiului.

Calculați $\displaystyle \log_9 27 - \log_2 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 + 1$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a) = a^2 + 2a + 2$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{2x+1} = 4 \cdot 2^x$.

După o scumpire cu $\displaystyle 10\%$, o imprimantă costă $\displaystyle 440$ de lei. Aflați prețul inițial al imprimantei.

În sistemul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$, $\displaystyle B(2,3)$, $\displaystyle C(x,y)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$, știind că $\displaystyle B$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AC$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle BC = 10$, $\displaystyle \angle C = 30^\circ$. Calculați lungimea medianei corespunzătoare laturii $\displaystyle AC$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = 3(x+y-2) - xy$.

1. Arătați că $\displaystyle 1 * 3 = 3$.

2. Arătați că $\displaystyle x * y = -(x-3)(y-3) + 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Verificați dacă $\displaystyle e = 2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

4. Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x \ge x$.

5. Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (m, n)$ pentru care $\displaystyle m * n = 1$.

6. Calculați $\displaystyle 1 * 2 * 3 * \dots * 2026$.