a) Arătați că $\displaystyle M \cdot N = N \cdot M$.

b) Verificați dacă $\displaystyle \det N - \det M < \det(M-N)$.

c) Determinați numărul matricelor $\displaystyle P = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix}$ pentru care $\displaystyle P^2 = M$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{R}$ ecuația $\displaystyle x*x = 2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ astfel încât $\displaystyle x*m*x = m$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Știind că legea $\displaystyle „*”$ este asociativă, calculați $\displaystyle \frac{1}{2} * \frac{2}{3} * \frac{2026}{2026} * \dots * \frac{2026}{2026}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2x^2+1}{x^2+x}$, pentru orice număr real $\displaystyle x > 0$.

b) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d: y = 2x-1$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Calculați $\displaystyle \int e^x f(x)dx$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe intervalul $\displaystyle [1, +\infty)$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (e^{x^2+x} - 1)f(x)$, cu proprietatea $\displaystyle F(\ln 1) = \ln \sqrt{e}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-17$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)+A(-x)=2\cdot A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A\left(3^x\right)\cdot A\left(3^x\right)=17\cdot I_2$.

a) Arătați că $\displaystyle 2023*3=2025$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x*x)*x\leq\frac{16}{3}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \sqrt{x^2+9}*(-3x)=2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)(1+x)}{\left(x^2+1\right)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle -\frac{1}{2}\leq f(x)\leq\frac{1}{2}$, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle \int\frac{1}{x^2+6}\cdot f(x)\,dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int\frac{x^2\cdot e^x}{f(x)}\,dx$.

c) Să se determine $\displaystyle m\in\mathbb{R}$, știind că funcția $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\left(x^2-2x+m\right)\cdot e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.