a) Arătați că $\displaystyle P(0) = m$.

b) Pentru $\displaystyle m = -1$, demonstrați că $\displaystyle (x_1 + x_2 + x_3)\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}\right) = 4$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

c) Arătați că polinomul $\displaystyle P$ nu are toate rădăcinile reale.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x^2-1)}{(x^2+x+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (f(x))^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) + 2x) dx = e-1$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = e-3$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \frac{\pi}{6}(3e^2-19)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \det(B(x)+I_2)=8$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x)=B(x) \cdot A$.

a) Arătați că $\displaystyle (-7)*7 = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y=(x-7)(y-7)+7$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1*2*3*...*2015$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=e$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)dx=\frac{1}{2}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^a f(x^2)dx=\ln 2-\frac{1}{2}$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)$.