a) Arătați că $\displaystyle \det(A(5))=5$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)+A(-x)=2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))=5$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 1 = -7$.

b) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (2n) \circ n < 45$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x^2-9) \circ (x^2-10) = 16$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)+f(y) \ge 6$, pentru orice $\displaystyle x, y \in (-1, +\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^2 f(x+3)^2dx$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Arătați că orice primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-1)) = \frac{1}{e}$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle Y\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle A(1)\cdot Y=B$.

a) Arătați că $\displaystyle a*(-a) = -a$.

b) Demonstrați că 0 este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea „$\displaystyle \ast$”.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x^4}{x^2+1}\cdot \frac{1}{x^2+3}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{f'(x)}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x-\frac{x^3}{3} < \operatorname{arctg} x < x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1 = 1-\ln 2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

c) Arătați că $\displaystyle nI_n = \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} \frac{x^n}{(1+x)^2} dx$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.