Aflați partea imaginară a numărului $\displaystyle z=\frac{1-2i}{1+3i}$.

Fie $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ o funcție impară cu proprietatea $\displaystyle f(2)= -3$ și $\displaystyle f(-1)=5$. Calculați $\displaystyle f(0)+f(1)+f(-2)$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x+1}+4=2x$.

Determinați câte submulțimi ale mulțimii $\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ conțin cel mult unul dintre elementele 5 sau 6.

Aflați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}$ și $\displaystyle \vec{v}$ au același modul, unde $\displaystyle \vec{u}=3\vec{i}-5\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=(a+1)\vec{i}-(a-3)\vec{j}$.

Arătați că funcția $\displaystyle f:\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=\frac{1-\cos^2 x}{\sin x} + \frac{\sin^2 x}{1+\cos x}$, este constantă.

5p 1. Fie $\displaystyle I=(2;7)$ și $\displaystyle J=(4;9)$. Determinați numerele întregi din intervalul $\displaystyle I \bigcup J$.

5p 2. Arătați că $\displaystyle C_4^2 + C_4^3 = 2^3$.

5p 3. Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{R}$ ecuația $\displaystyle \sqrt{x+1}=5$.

5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr natural format din două cifre, acesta să aibă cifre identice.

5p 5. Fie $\displaystyle \vec{u}=2\vec{i}-3\vec{j}$, $\displaystyle \vec{v}=\vec{i}+(a-1)\vec{j}$. Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle \vec{u} \parallel \vec{v}$.

5p 6. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle AB=5$, $\displaystyle BC=8$ și $\displaystyle AC=5$.

Se dau matricele: $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 5p 1. Calculați $\displaystyle 3A - 5I_3 + 2O_3$.

5p 2. Determinați cea mai mică valoare a lui $\displaystyle n \in \mathbb{N}$ pentru care $\displaystyle A^n = O_3$.