Exerciții

numere realeordonare

Ordonați crescător numerele $\displaystyle a = \sqrt{6}, b = \sqrt{15}$ și $\displaystyle c = \sqrt{220}$ .

Subiectul I

funcții

Demonstrați că funcția $\displaystyle f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, f(x) = x^2 + x$ nu este surjectivă.

Subiectul I

ecuațiifuncții

Determinați valorile lui $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $\displaystyle x^2 - mx + 1 = 0$ are două soluții reale distincte.

Subiectul I

combinatoricăprobabilități

Mulțimea $\displaystyle A$ are patru elemente. Determinați probabilitatea ca, atunci când alegem la întâmplare o submulțime nevidă a lui $\displaystyle A$ , aceasta să aibă exact două elemente.

Subiectul I

geometrie analitică

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ , trei dintre vârfurile paralelogramului $\displaystyle ABCD$ au coordonatele $\displaystyle A(-2,3), B(-1,1)$ și $\displaystyle C(4,2)$ . Calculați lungimea diagonalei $\displaystyle BD$ .

Subiectul I

geometrie sinteticătrigonometrie

Laturile triunghiului $\displaystyle ABC$ au lungimile $\displaystyle AB=8, AC=5, BC=7$ . Determinați măsura unghiului $\displaystyle A$ .

Subiectul al II-lea

matricinumere complexe

Pentru fiecare număr complex $\displaystyle z=a+b \cdot i$ , unde $\displaystyle a,b \in \mathbb{R}$ , $\displaystyle i^2 = -1$ , se consideră matricea $\displaystyle A(z) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & i & 0 \\ 5 & 0 & -2 \end{pmatrix} + a \cdot I_3 + b \cdot B, \text{unde } B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Subiectul al II-lea

ecuațiilegi de compoziție

Pe mulțimea $\displaystyle M = [1, \infty)$ se consideră legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = \log_2(3^{x-1} + 3^{y-1} + 12).$

Subiectul al III-lea

asimptotederivateecuațiifuncțiilimite de funcții

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-\infty, 1) \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^2-x+1}{x-1}$ .

Subiectul al III-lea

derivatefuncțiiintegralelimite de funcțiiprimitive

Se consideră funcțiile $\displaystyle f,g : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ definite prin $\displaystyle f(x) = \operatorname{arctg} x$ , iar $\displaystyle g(x) = \operatorname{arctg} \frac{1}{x}$ .

Subiectul I

numere complexe

Se consideră numărul complex $\displaystyle z=7-i$ . Arătați că $\displaystyle |z-\bar{z}|=10$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=5-2x$ . Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a+1)=f(3a)+18$ .

Subiectul I

ecuațiilogaritmi

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2(2x-3)=\log_2(3-x)$ .

Subiectul I

combinatoricăprobabilități

Calculați probabilitatea ca alegând un număr natural de două cifre, acesta să fie impar, cu cifre distincte.

Subiectul I

geometrie analitică

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(6,3)$ și $\displaystyle B(2,1)$ . Determinați ecuația mediatoarei segmentului $\displaystyle [AB]$ .

Subiectul I