Să se afle media geometrică a numerelor $\displaystyle x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ și $\displaystyle y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 3x - 2$. Aflați numărul real $\displaystyle m$ pentru care punctul $\displaystyle A(m, 7)$ aparține reprezentării geometrice a graficului funcției $\displaystyle f$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x^2 - 1} = 81$.

După o reducere cu $\displaystyle 20\%$ prețul unui obiect devine $\displaystyle 800$ de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2, 1)$, $\displaystyle B(2, 4)$ și $\displaystyle C(4, 2)$. Scrieți ecuația medianei dusă din vârful $\displaystyle A$ în triunghiul $\displaystyle ABC$.

Determinați lungimea laturii $\displaystyle BC$ a triunghiului $\displaystyle ABC$, știnind că $\displaystyle AB = 8$, $\displaystyle AC = 10$ și $\displaystyle m(\sphericalangle A) = 60^\circ$.

Aflați cât este $\displaystyle 5 * (-5)$.

Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x + 5)(y + 5) - 5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că $\displaystyle x = -4$ este elementul neutru al legii de compoziție „*”.

Aflați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \log_2 x = -5$.

Aflați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

Arătați că $\displaystyle x * (x + 2) \ge -6$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ -4 & -8 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 3 & x+3 \\ x-3 & -3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

Arătați că $\displaystyle 2B(1) - A = 2I_2$.

Demonstrați că $\displaystyle \det(B(x) + I_2) \le 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Arătați că $\displaystyle B(x) \cdot B(x) = x^2 \cdot I_2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.