a) Determinați numerele reale $\displaystyle a, b$ pentru care $\displaystyle 1 * 2 = 11$ și $\displaystyle (-1) * 4 = 5$.

b) Pentru $\displaystyle a=-3, b=18$ arătați că $\displaystyle x * y = (x-3)(y-3)+9$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a, b$ pentru care legea "$\displaystyle *$" admite element neutru.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{xe^x}{(e^x+1)^2} \cdot x+e^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x - y \ge \ln \frac{x+1}{y+1}$, oricare ar fi $\displaystyle x, y > 0, x \ge y$.

a) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^3 \frac{x^3+9x}{x} \, dx$.

c) Calculați $\displaystyle \int f(x) \cdot \ln x \, dx$ unde $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(1))=7$.

b) Arătați că $\displaystyle B(2)-B(0)\cdot B(1)=4A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(B(a)-aA)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \frac{1}{3}*3=3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle e=2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați valorile numărului natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (n-1)*n>-3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3x(2\ln x+1)$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)\geq -\frac{3}{2e}$, oricare ar fi $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int\frac{f(x)}{x^2}\,dx$, pentru $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(2)=4$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle \left[\frac{2}{3},+\infty\right)$.