În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A, B$ și $\displaystyle C$, astfel încât $\displaystyle A(1,3), B(2,5)$ și $\displaystyle \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AB}$. Să se determine coordonatele punctului $\displaystyle C$.

Fie triunghiul $\displaystyle ABC$ în care se cunosc $\displaystyle AC = 8cm, BC = 15cm$, iar măsura unghiului $\displaystyle C$ este de $\displaystyle 30^\circ$. Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este de $\displaystyle 30cm^2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 3xy - 3x - 3y + 4$. Arătați că $\displaystyle a \circ 1 = 1$ oricare ar fi numărul real $\displaystyle a$.

Să se arate că $\displaystyle x \circ y = 3(x-1)(y-1) + 1$.

Arătați că $\displaystyle e = \frac{4}{3}$ este elementul neutru al legii de compoziție "$\displaystyle \circ$".

Să se arate că $\displaystyle (x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$, oricare ar fi $\displaystyle x,y,z$ numere reale.

Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{R}$ ecuația $\displaystyle x \circ x = 25$.

Calculați $\displaystyle 1 \circ \frac{2}{17} \circ \frac{3}{17} \circ \dots \circ \frac{2024}{17}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ și mulțimea $\displaystyle G = \{ X(a) \in M_2(\mathbb{R}) | X(a) = I_2 + aA, a \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{3}\} \}$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Arătați că $\displaystyle \det(X(2)) = 7$.

Arătați că $\displaystyle X(1)+X(4) = I_2+4A$.

Să se arate că $\displaystyle X(a) \cdot X(b) = X(a+b+3ab)$, oricare ar fi $\displaystyle X(a), X(b) \in G$.

Demonstrați că $\displaystyle X(a)$ nu este $\displaystyle O_2$, oricare ar fi $\displaystyle X(a) \in G$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(X(a)) \cdot X(a) = O_2$, unde $\displaystyle X(a) \in G$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(X(a)) + al_2 \le 0$, unde $\displaystyle X(a) \in G$.

Să se determine partea reală a numărului complex $\displaystyle z = \frac{1 + 2i}{1-i}$, unde $\displaystyle i^2 = -1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2-x$. Să se calculeze $\displaystyle f(2^0)+f(2^1)+...+f(2^7)$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2(x+1)+\log_2(x-1)=3$.

Calculati probabilitatea ca, alegând un număr din multimea $\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}$, acesta să verifice relatia $\displaystyle (n-1)!>1$.

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{v_1} = 3\vec{i} + \vec{j}$, $\displaystyle \vec{v_2} = \vec{i} - 2\vec{j}$. Să se calculeze modulul vectorului $\displaystyle \vec{v_1} - 3\vec{v_2}$.

Determinați $\displaystyle x \in (0, \frac{\pi}{2})$ știind că $\displaystyle \cos 2x - \sin (x - \frac{\pi}{3}) - \sin 2x \cdot \sin \frac{\pi}{3} - \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 0$.