a) Arătați că $\displaystyle \det(M(3)) = -4$.

b) Arătați că $\displaystyle M(4) + 3M(0) = 4M(1)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x) \cdot M(0) = M(2)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 0 = 1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast (-x) = 3$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m \ast n = -mn$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^3 - x - 6}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln x \ge \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}x^2$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

a) Să se calculeze $\displaystyle \int \frac{f(x)}{e^x} dx$.

b) Să se calculeze $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{(x-2)^2} dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ astfel încât sistemul să aibă soluție unică.

b) Dacă $\displaystyle a\neq 2$, rezolvați sistemul de ecuații.

c) Dacă $\displaystyle a=2$, determinați soluția $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului, având componentele întregi, pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=6$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle 1\circ 3=11$.

b) Să se determine numărul real $\displaystyle a$ știind că legea admite element neutru.

c) Să se arate că, dacă intervalul $\displaystyle [0,6]$ este parte stabilă a lui $\displaystyle \mathbb{R}$ în raport cu legea „$\displaystyle \circ$”, atunci $\displaystyle a\in\left[\frac{1}{6},\frac{1}{3}\right]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1+\ln x$, pentru $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinați $\displaystyle m\in(0,+\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle M(m,f(m))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=2x$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x\ln x+\frac{1}{e}\geq 0$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

a) Să se arate că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați o primitivă a funcției $\displaystyle f$, știind că graficul primitivei trece prin punctul de coordonate $\displaystyle A\left(-1,-\frac{2}{e}\right)$.

c) Să se arate că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.