a) Arătați că $\displaystyle 2*(-2)=-2$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y=3(x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x*x*x=x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x+2)e^x$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle [-3,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1}(x^2+1)f(x)dx=0$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=\frac{1}{2}\ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m, m>0$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)-x$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=m$, are aria egală cu $\displaystyle \ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -5$.

b) Arătați că $\displaystyle \det (A+C(-1)) = \det B$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle C(x) \cdot A - A \cdot C(x) = B$.

a) Arătați că $\displaystyle P(1) = -4$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P(X)$ la polinomul $\displaystyle X^2 + 3X - 3$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x_1 + x_2 + x_3 + \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = 0$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P(X)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^2}{x}$.

c) Arătați că $\displaystyle -1 \le f(x) \le 3$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, 1]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x) - \frac{1}{x}\right) dx = \frac{7}{3}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x^2 + \ln x + 2015$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)-2x$.