a) Calculați $\displaystyle \det(A(0))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)=A(-x-y+2xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x,y$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care inversa matricei $\displaystyle A(m)$ are elementele numere întregi.

a) Calculați $\displaystyle f(0)+f\left(-\frac{1}{3}\right)$.

b) Demonstrați că polinomul $\displaystyle f$ se divide cu $\displaystyle (4X-1)^{2012}$.

c) Determinați restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la $\displaystyle (4X^2-X)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\ln(x-1)-\ln x+1}{x^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ nu are soluții reale pentru niciun număr întreg $\displaystyle m$.

a) Folosind eventual faptul că $\displaystyle x^2+x+1 \ge \frac{7}{2}$ pentru orice $\displaystyle x \in [2,\infty)$, arătați că $\displaystyle \int_2^e f(x)dx \le 1$.

b) Demonstrați că dacă $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ atunci $\displaystyle F(e) < F(3)$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 xf(x)dx = \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{\pi}{18}\sqrt{3}$.

a) Să se calculeze $\displaystyle \det A$.

b) Să se demonstreze că $\displaystyle A^2 = 2I_2 - A$, unde $\displaystyle A^2 = A \cdot A$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Să se determine matricele $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, $\displaystyle X \ne O_2 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, astfel încât $\displaystyle \det(X+A)=0$.

a) Calculați $\displaystyle (-3)*2$.

b) Să se arate că $\displaystyle x*y = 2(x+3)(y+3) - 3$.

c) Să se determine numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x*x*x = 29$.

a) Să se calculeze $\displaystyle f'(x)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) - f(-1) = 3$.

c) Să se arate că funcția este crescătoare, oricare ar fi $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

a) Să se calculeze $\displaystyle \int (F(x) + 6x^2 - 8) dx$.

b) Să se verifice dacă funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^4}{4} + 6x^2 - 2$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Să se determine $\displaystyle a \in \mathbb{R}$, $\displaystyle a > 1$, astfel încât $\displaystyle \int_1^a (F(x) - x^3) e^x dx = 36e^a$.