a) Arătați că $\displaystyle \det(A)=-3$.

b) Verificați dacă $\displaystyle A \cdot A - 2A = 3I_2$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$, astfel încât $\displaystyle A \cdot X = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că dacă $\displaystyle f(1)=0$ atunci $\displaystyle m=-3$.

b) Calculați $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2$, unde $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile complexe ale polinomului $\displaystyle f$.

c) Dacă $\displaystyle m=-3$, determinați $\displaystyle a,b \in \mathbb{R}$, astfel încât $\displaystyle f=(X-1)(X^2+aX+b)$.

a) Verificați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(x+5)}{(x+2)^3}$, $\displaystyle x \in (-2, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 4$, pentru orice $\displaystyle x \in (-2, \infty)$.

a) Verificați că $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx = -2$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) \cdot e^x dx = 5-3e$.

c) Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ astfel încât aria suprafeței plane determinate de graficul funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x^2+1}$ axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuație $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ să fie egală cu $\displaystyle a \cdot \pi - \ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle 2A(1)-A(-1)=A(3)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care are loc egalitatea: $\displaystyle A(x)+y \cdot I_3 = 2 \cdot (A(1)-I_3)$.

c) Arătați că rangul matricei $\displaystyle A(n)$ este egal cu $\displaystyle 3$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

a) Pentru $\displaystyle a=1$, arătați că $\displaystyle 3*4=7$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle 2*1=0$, atunci $\displaystyle 1*2=1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că legea de compoziție admite element neutru.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2-\ln(x+1)}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$.

b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de intersecție al graficului cu axa $\displaystyle Oy$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 5^{\sqrt{6}} < 6^{\sqrt{5}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{3}{4}$.

b) Calculați aria suprafeței mărginite de graficul funcției $\displaystyle g$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1, x=e$, unde $\displaystyle g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{x^2}$.

c) Arătați că $\displaystyle (3n+4) \int_0^1 x^n(1-x^3)dx = 3 \int_0^1 x^n(x^3-1)dx$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.