a) Arătați că rang $\displaystyle (A^2-A) = 0$.

b) Rezolvați în $\displaystyle M_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle X \cdot A = A \cdot X$.

c) Arătați că dacă $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle X^{2024} = A$, atunci $\displaystyle X=A$ sau $\displaystyle X=-A$.

a) Pentru $\displaystyle n=6$, calculați suma soluțiilor ecuației $\displaystyle \hat{3}x^2+\hat{3}=\hat{0}$ în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$.

b) Pentru $\displaystyle n=8$, arătați că dacă $\displaystyle \hat{x} \in \mathbb{Z}_8$ astfel încât $\displaystyle \hat{x}^7=\hat{1}$, atunci $\displaystyle \hat{x}=\hat{1}$.

c) Pentru $\displaystyle n=10$, arătați că ecuația $\displaystyle \hat{x}^9+\hat{x}+\hat{1}$ nu are soluții în $\displaystyle \mathbb{Z}_{10}$.

a) Arătați că $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe intervalul $\displaystyle (-\infty, -2)$.

b) Determinați asimptotele graficului funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) < e^{x^2-1}$, $\displaystyle \forall x \in (-\infty, -2)$.

a) Calculați $\displaystyle I_0$.

b) Arătați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 0}$ este monoton și mărginit.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle A - 3C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle 5X - B = 3C$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast (-1) = 2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 8$.

c) Arătați că $\displaystyle (1 - x) \ast x < 5$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3x(x - 6)$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x) - 1) dx = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{6x}{f(x)} dx = \ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{a} f(\sqrt{x}) dx = \frac{33}{2}$.